经典(超越)不等式一、结论(1)对数形式:x≥1+lnx(x>0),当且仅当x=1时,等号成立.(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex>x+1>x>1+lnx(x>0且x≠1)上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：2nθxxxxen+1e=1+x++⋯++x；2!n!(n+1)!23n+1xxnxn+1ln(1+x)=x-+-⋯+(-1)+o(x)；23n+1截取片段：ex≥x+1(x∈R)ln(1+x)≤x(x>-1)，当且仅当x=0时,等号成立；进而：lnx≤x-1(x>0)当且仅当x=1时,等号成立二、典型例题2-31(2023·陕西咸阳·校考模拟预测)已知a=,b=e5,c=ln5-ln4，则()5A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex-x-1.(1)证明：f(x)≥0；111(2)证明：1+1+⋯1+b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b3.(2023·云南曲靖·统考一模)已知a=e-2，b=1-ln2，c=ee-e2，则()A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b4.(2023·全国·高三专题练习)已知a=esin1-1,b=sin1,c=cos1，则()A.ab+1>1则下列不等式一定成立的是()11b+1ebA.b-a>bB.a+>b+C.bD.b-4a<0428.(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则A.a1a3,a2a4D.a1>a3,a2>a4二、填空题9.(2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中)已知对任意x，都有xe2x-ax-x≥1+lnx，则实数a的取值范围是.三、解答题x10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=e-a.(1)若函数f(x)的图象与直线y=x-1相切，求a的值；(2)若a≤2，证明f(x)>lnx.2