专题17跨阶同构【方法点拨】1.指对形式同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题2.跨阶同构的几个关键环节:（1）指对各一边，参数是关键，凑形是难点.（2）凑形的常用方法：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等.3.常见同构式:（1）与型：，；（2）与型：，.4.几个常用函数的图象：函数表达式图像函数表达式图像函数极值点函数极值点函数极值点函数极值点过定点函数极值点函数极值点函数极值点函数极值点【典型题示例】例1（2022·江苏天一中学期末·16）已知函数（），若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是.A．；B．；C．；D．.【答案】A【解析】，即两边同时除以得两边同时除以得，即设函数，易得在单增所以，易知，故设，易得所以，故，选A.例2(2022·江苏省G4（扬州中学、苏州中学、盐城中学、常州中学）高三上学期12月阶段检测)若不等式eq2e\s\up6(x)－2＞－aln(x＋1)＋(a＋2)x对x∈(0，＋∞)恒成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【答案】B【分析】运用同构对不等式进行变形，使得两边“结构相同”，由于式子中含有ex、ln（x+1）及关于x的一次式，故应考虑“跨阶同构”，即对不等式变形时，应使得不等式两边一边含ex、另一边含ln（x+1）.【解析】对eq2e\s\up6(x)－2＞－aln(x＋1)＋(a＋2)x变形得：2ex－ax＞2（x+1）－aln（x+1）一方面，2ex－ax＝2ex－alnex，所以问题转化为2ex－alnex＞2（x+1）－aln（x+1）对x∈(0，＋∞)恒成立又因为ex＞x+1，设f(x)=2ex－ax，则f(x)在(0，＋∞)为增函数故f/(x)=2ex－a≥0恒成立，故a≤2.例3已知函数，若，则的取值范围是.【答案】【解析】由移项得：（说明：将变量移至一边的原则进行变形）即，两边同时加（x－1）得（说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形）即设，则，所以单增所以，即设，则，所以在单减，在单增，所以，所以.点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．例4设a，b都是正数，若aea+1+b＜blnb（其中e是自然对数的底数），则（）A.ab＞e；B.b＞ea+1；C.ab＜e；D.b＜ea+1.【答案】B【解析】由已知aea+1+b＜blnb移项整理得aea+1＜blnbe，为了实现“一边一个变量”，两边同时除以e得aea＜belnbe，为了实现“两边结构相同”，对左边“降阶”得aea=ea·lnea故ea·lnea＜belnbe（#）设fx=x·lnx，（#）即为fea＜fbe∵a＞0，∴ea＞1∵blnb−1＞0，b＞0，∴lnb＞1，故b＞e，be＞1当x＞1时，f'x=1+lnx＞0，fx单增∴ea＜be，即ea+1＜b，选B.例5已知函数（），若恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】∵∴两边加上得设，则其单增∴，即令，则∵的定义域是∴当时，，单增；当时，，单减∴当时，取得极大值即为最大值，且∴，∴即为所求.例6设实数λ>0，若对任意的x∈(0，+∞)，不等式eλx−lnxλ≥0恒成立，则λ的取值范围是．【答案】[1e，+∞)【解析】由eλx−lnxλ≥0得eλx≥lnxλ，即λxeλx≥lnx∙elnx对任意的x∈(0，+∞)恒成立．设f(t)=tet，则f(λx)≥f(lnx)对任意的x∈(0，+∞)恒成立，又f't=tet+et=(t+1)et，∴当t<−1时，f'(t)<0，f(t)单调递减；当t>−1时，f'(t)>0，f(t)单调递增．画出图象为①当x≥1e时，t1=λx>0，t2=lnx>−1，此时函数f(t)单调递增，∴f(t1)>f(t2)，即f(λx)≥f(lnx)，所以λx≥lnx对任意的x∈(0，+∞)恒成立，∴λ≥lnxx对任意的x∈(0，+∞)恒成立．设gx=lnxx，x>0，则g'x=1−lnxx2，则当00，g(x)单调递增；当x>e时，g'x<0，g(x)单调递减，∴gxmax=ge=1e，∴λ≥1e．②当00，t2=lnx<−1，由f0=0⋅e0=0，结合函数f(t)的图象可得f(t1)>0>f(t2)，即f(λx)≥f(lnx)对任意的x∈(0，+∞)恒成立．综上可得λ≥1e，∴实数λ的取值范围是[1e，+∞)．【解析二】由eλx−lnxλ≥0得eλx≥lnxλ，即λxeλx≥lnx∙elnx对任意的x∈(0，+∞)恒成立．当x∈(0，1]时，总有λxeλx>0，xlnx≤0.只需考虑x>1的情形，亦即λxeλx≥lnx∙elnx.设f(t)=tet(t>0)，则f't=tet+et=t+1et>0，ft在t∈(0，+∞)上为增函数.由fλx≥flnx得，λx≥lnx，即λ≥lnxx，故λ≥lnxxmax设gx=lnxx，x>0，则g'x=1−lnxx2，gxmax=ge=1e，∴λ≥1e．【解析三】由eλx−lnxλ≥0得eλx≥lnxλ，λeλx≥lnx，即（λx）eλx≥xlnx对任意的x∈(0，+∞)恒成立．当x∈(0，1]时，总有λxeλx>0，xlnx≤0.只需考虑x>1的情形，亦即eλxlneλx≥xlnx.设f(t)=tlnt(t>1)，则f't=1+lnt>0，ft在t∈(1，+∞)上为增函数.由feλx≥fx得，eλx≥x，即λ≥lnxx，故λ≥lnxxmax设gx=lnxx，x>0，则g'x=1−lnxx2，gxmax=ge=1e，∴λ≥1e．【解析四】由eλx−lnxλ≥0得eλx≥lnxλ，λeλx≥lnx，即（λx）eλx≥xlnx对任意的x∈(0，+∞)恒成立．当x∈(0，1]时，总有λxeλx>0，xlnx≤0.只需考虑x>1的情形，得λx+ln⁡(λx)≥ln⁡x+ln⁡(lnx).设ft=t+lnt(t>1)，则f't=1+1t>0，ft在t∈(1，+∞)上为增函数.由fλx≥flnx得，λx≥lnx，即λ≥lnxx，故λ≥lnxxmax设gx=lnxx，x>0，则g'x=1−lnxx2，gxmax=ge=1e，∴λ≥1e．例7对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是.【答案】【解析一】将变形为，（说明：将参数移至一边）两边同时乘x得（说明：目的是凑右边的结构）即（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）设，则，单增故由（#）得，再令，则，易知当所以，即.【解析二】将变形为，即设，易知单增故（以下同解法一，从略）.点评：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的恒等变形的方法有：x=elnx(x>0)，x=lnex(x∈R).xex=ex+lnx；x+lnx=lnxex.xex=elnx−x；x−lnx=lnexx.x2ex=ex+2lnx；x+2lnx=lnx2ex.exx2=ex−2lnx；x−2lnx=lnexx2.有时也需要对两边同时加、乘某式等.与为常见同构式：，；与为常见同构式：，.【巩固训练】1.设实数，若对任意的，不等式成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．2.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（）.3．若对一切正实数x恒成立,则实数a的取值范围是 B.(-∞,1] C.(-∞,2] D.(-∞,e]4.已知函数，（其中a为参数），若对任意x(0，)，不等式成立，则正实数a的取值范围是．5.对于任意实数，不等式恒成立，则的最大值是_____.6.关于的不等式对任意（其中）恒成立，则的取值范围是_____.7.关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_____.8.已知函数fx=（x+1x）lnx，gx=memx+m若对任意的x∈(0，+∞)，不等式2fx−gx≤0恒成立，则m的取值范围是．9.(2022·江苏数学基地校联考·22改编)已知函数eqf(x)＝ae\s\up6(x)－lnx－lna，当x＞0时，f(x)≥eq\f(5,2)，则a的取值范围是.10.（2022·江苏天一中学）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________．【答案与提示】1.【答案】D【分析】把不等式成立，转化为恒成立，设函数，进而转化为恒成立，得出恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【解析】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得，当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数m的取值范围是.故选：D.2.【答案】【提示】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为.3.【答案】B【解析】（利用同构）由得，两边同时加即设，则，单增，即，故恒成立恒成立设，易得，所以.4.【答案】【解析】构建同构式处理不等式由得，即，两边同时加得令,则，∵为单调增函数∴，即，令,则∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，解得．5.【答案】e【提示】变形为.6.【答案】【提示】变形为.7.【答案】【提示】变形为，利用.8.【答案】[2e，+∞)【解析】2fx−gx≤0转化为（x2+1）lnx2≤mxemx+mx，即x2lnx2+lnx2≤mxemx+mx，设ft=tet+t，则flnx2≤f(mx)对任意的x∈(0，+∞)恒成立，又f't=tet+et+1=t+1et+1>0，f(t)单调递增所以lnx2≤mx，m≥2lnxx，易求得m≥2e∴实数m的取值范围是[2e，+∞)．9.【答案】10.【答案】（，）【分析】由题可得，可构造函数则，再求函数的最大值即可.【解析】关于的不等式在上恒成立，则，设，∴∵，∴在上单调递增，∴即，设，∴，令，得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，∴，∴故答案为：（，）.