考向29空间几何体的外接球和内切球问题1.（2022年乙卷理9文12）9.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为A．B．C．D．【答案】C【解析】考虑与四棱锥的底面形状无关，不是一般性，假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则所以该四棱锥的高，所以体积当且仅当，即时，等号成立所以该四棱锥的高故选C2.（2022年新高考1卷）8．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱雉体积的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】记三棱锥高与侧棱夹角为，高为，底面中心到各顶点的距离为，，则，，，，故，令，故，，，，即，．3.（2022年新高考2卷）7．正三棱台高为1，上下底边长分别是和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是 A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径是3，下底面所在平面截球所得圆的半径是4，则轴截面中由几何知识可得，或解得，因此球的表面积是．故选A.1.正方体内切球、外接球、棱切球的球心都是正方体的中心，若正方体棱长为，则这三种球的半径分别为.2.长方体的外接球的球心是其体的对角线的中点；若长方体的过同一顶点的三条棱长分别为则外接球的半径是；若长方体过同一顶点的三个面的对角线长分别为则外接球的半径是.3.直三棱柱的外接球球心是上、下底面三角形外心连线的中点.若直三棱柱的侧棱长为h，底面三角形外接圆半径为R（或可用正弦定理求得它）则外接球半径为4.正四面体的内切球、外接球的球心都是正四面体的中心，它是高的一个四等分点，若四面体的棱长为a，则其内切球半径为，外接球半径为.5.正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.6.正四面体、三条侧棱两两垂直的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥、相对棱相等的三棱锥，这些几何体的外接球问题可以补形成长方体或正方体来解决.7.一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球题，可补形为直三棱柱来解决问题.8.圆锥的内切球和外接球问题可作公共的轴截面，找出两个几何体的关系解决问题.9.多面体内切球问题可由公式来计算内切球半径.1.常用结论(1)正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点．(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点．(3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点．(4)正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到．(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．2．构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心(1)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体．(2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体．3.球的有关性质（1）球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.（2）球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.（3）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为:R2=d2+r2.（4）球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.（5）球的直径等于球的内接长方体的对角线长.（6）若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.一、单选题1．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（    ）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】设球的半径为，则，解得设四棱柱的高为，则，解得故选：C2．圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，所以，解得：，则球的体积为故选：A3．已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是（    ）A．6π B．12π C．18π D．24π【答案】B【解析】正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则，解得，故球的直径为.球的表面积为.故选：B.4．已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】若棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，则球的直径等于正方体的体对角线长，即，（其中是该球的半径），所以，则球的体积．故选：B．5．在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（    ）A．100π B．50π C．144π D．72π【答案】A【解析】如图，将三棱锥放于一个长方体内：则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，∵，∴外接球的表面积为：．故选：A.6．矩形中，，，沿将矩形折起，使面面，则四面体的外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图：矩形中，因为，所以，设交于，则是和的外心，所以到点的距离均为，所以为四面体的外接球的球心，所以四面体的外接球的半径，所以四面体的外接球的体积.故选:A.7．已知点是球的小圆上的三点，若，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以是正三角形，是其外接圆圆心，所以的外接圆半径，球的半径，所以球的表面积为.故选：B.8．已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（    ）A．3 B．2 C． D．1【答案】D【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．由题意，易知，得，设，得，解得，所以四棱锥P-ABCD的体积为．故选：D二、多选题9．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（    ）A．该正方体的棱长为2 B．该正方体的体对角线长为C．空心球的内球半径为 D．空心球的外球表面积为【答案】BD【解析】设内外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为，体对角线长为，∴，又由题知，所以，，∴正方体棱长为，体对角线长为，∴外接球表面积为，故选：BD.10．正方体中，，点在线段上运动，点在线段上运动，则下列说法中正确的有（    ）A．三棱锥的体积为定值B．线段长度的最小值为2C．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为D．平面截该正方体所得截面可能为三角形､四边形､五边形【答案】AB【解析】如图，由正方体可得故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，∴上任一点到平面距离为定值，即到平面距离为定值，而面积为定值，∴故为定值，A对.，B对.∵底面为等腰直角三角形，且边长为2，∴外接圆半径为，∵三棱锥的高为，如图，取的中点为，连接，则，故，故为三棱锥的外接球的球心，且半径为，故表面积为，故C不对.如下图所示：平面截该正方体所得截面可能为三角形､四边形，不可能为五边形，故D错.故选：AB.三、填空题11．已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，，则该球的表面积为______.【答案】【解析】由题意，的外接圆直径，且的外接圆直径，与外接球直径构成勾股定理，所以外接球直径满足.故外接球表面积.故答案为：12．已知球的一个截面面积为，若球上的点到该截面的最大距离为3，则球的表面积为__________．【答案】【解析】设球的半径为，截面圆的半径为到截面的距离为，则由题意得解得所以球的表面积为故答案为：13．已知的顶点都是球的球面上的点，，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________.【答案】【解析】因为，取的中点，则为外接圆的圆心，所以平面，因为，，，所以，所以，又由三棱锥的体积为，所以，解得，所以球的半径为，故球的表面积.故答案为：.14．已知四棱锥的底面为矩形，，则其外接球的表面积为________．【答案】【解析】如图取中点，底面中心为，外接球的球心为，则底面，由因为，所以，，即，，，因此有，，，设球的半径为，．在直角梯形中，在直角中，联立得，即，故球的表面积为.故答案为：一、单选题1．（2022·广东佛山·二模）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（ ）A．2π B．4π C．16π D．【答案】B【解析】依题意，做球的剖面图如下：其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知球的半径计算公式：，由于圆柱的高为2，OD=1，DE=3-1=2，，母线，∴圆锥的侧面积为，故选：B.2．（2022·海南·模拟预测）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方体的体积为，其内切球的体积为，由条件可知牟合方盖的体积为，故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为.故选：C3．（2022·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示由题意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，所以这个几何体的外接球的体积为.故选：B.4．（2022·江苏南京·模拟预测）足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足，二面角的大小为，则该足球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，三棱锥如图所示，图中点为线段的中点，分别是线段上靠近点的三等分点，因为，所以和均为等边三角形，因为点为线段的中点，所以，所以为二面角的平面角，所以，因为和均为等边三角形，点为线段的中点，所以分别为和的中线，因为分别是线段上靠近点的三等分点，所以分别为和的外心，过分别作平面和平面的垂线，交于点，则点为三棱锥外接球的球心，即为足球的球心，所以线段为球的半径，因为，，所以，则，因为，所以≌，所以，在直角中，，因为平面，平面，所以，因为是的外心，所以，所以,所以，所以足球的体积为，故选：A5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【解析】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：.故选：C.6．（2021·辽宁丹东·二模）球的两个相互垂直的截面圆与的公共弦的长度为2，若是直角三角形，是等边三角形，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，过作直线平面，过作直线平面，则与相交于，即为球心，连接，则为该球的半