重庆市乌江新高考协作体2024届高考模拟监测（一）数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．2．若为虚数单位，复数，则（    ）A． B． C． D．3．已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（  ）A．245 B．244 C．242 D．2414．洪崖洞是具有重庆特色的吊脚楼式建筑，它的屋顶可近似看作一个多面体，右图是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，和△FBC是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱与平面成的角，，则该屋顶的侧面积为（    ）A．80 B． C．160 D．5．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作⊙O,P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作⊙O的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（    ）A． B． C． D．6．在不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是（    ）A． B． C． D．7．已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个.A．0 B．1 C．2 D．38．定义，对于任意实数，则的值是（    ）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9．已知，，且，则（    ）A． B． C． D．10．已知，，则（    ）A．函数在上的最大值为3 B．，C．函数在上没有零点 D．函数的极值点有2个11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则（    ）A．为定值B．C．点到两条渐近线的距离之和的最小值为D．不存在直线使三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是.13．从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级，，第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是．14．若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形．(1)求证：平面平面；(2)若，，，求平面和平面夹角的余弦值.16．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.(1)求函数的表达式；(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.17．三峡之巅景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．（i）试用含m的代数式表示p；（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．18．已知椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线与椭圆交于另一点，且点到轴的距离为．(1)求椭圆的方程．(2)若点是上与点不重合的任意一点，直线与轴分别交于点．①设直线的斜率分别为，求的取值范围．②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．19．重庆江北国际机场T3B航站楼预计于今年完工，该建筑的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线上的曲线段AB，其弧长为，当动点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为，其中．(1)求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；(2)已知函数，求曲线的曲率的最大值；(3)已知函数，若曲率为0时x的最小值分别为，求证：．重庆乌江新高考协作体2024届高考模拟监测（一）数学答案（分数：150分，时间：120分钟）1．C 2．D 3．B4．D 5．A 6．C7．D【分析】令，分别用表示，，，进而求得在，，中一定是有理数的个数.8．A【分析】设，则，构造函数，利用导数求出函数的最小值进而得，化简即可求解.9．AB【分析】根据基本不等式可判定A，根据指数函数的单调性可判定B，根据基本不等式、对数运算及对数函数单调性可判断C，根据二次函数的性质可判断D.10．AC【分析】求函数的导数，得，.因为在上递增，根据函数零点的存在性判断零点在之间，设为，再代入计算可以求出函数在上的最值，判断AB的真假；求的导数，得，，利用其单调性得至多一解，可判断D；再根据函数零点的存在性，可判断C的真假.11．BD【分析】对于A，根据，取垂直于x轴的直线，结合条件可判断A；对于B，设直线的方程为，利用韦达定理可得，联立直线与渐近线方程，可分别解得，，结合弦长公式可判断B；对于C，设，可得P到两渐近线距离可判断C；由题可得恒成立可判断D.12．13．14．15．（1）∵为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，∴．∵四边形为矩形，平面，∴，平面，又平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，则，即，令，得，所以．设平面的法向量为，则，即，令，得，，所以，所以，所以平面和平面夹角的余弦值为．16．（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数，可得，解得，由于,故，1，2，当和时，，此时为奇函数，符合要求，当时，，此时为偶函数，不符合要求，；（2）不等式，即，又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数，所以，则，所以实数的取值范围为．17．（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：，，，故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率．（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率，所以，，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值，且最大值为．由，且，得．当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为．18．（1）由题意知，．由直线的斜率为，得，所以．直线的方程为．设，则．由点到轴的距离为，得．由点在直线上，得，所以．由点在椭圆上，得，解得．所以．所以椭圆的方程为．（2）  ①设（或）．由（1）知，，则，所以．由或，得或，所以或．故的取值范围是．②由①知，即．设．因为三点共线，所以，得．因为三点共线，所以，得．所以．故为定值16．19．（1）易知单位圆上圆心角为的圆弧，根据定义可得平均曲率（2）由可得，又可得；所以，易知，当且仅当时，即时等号成立；所以，即曲线的曲率的最大值为.（3）由可得，记，则；同理由可得，记，则，若曲率为0时，即，可得，化简可得；令，则，由可得，则当时，，此时单调递增，且；当时，，此时单调递减，且；则的图象如下图所示：又，结合的图象可得有两解，设这两解分别为，且，又，因为最小，因此，由，可设，故，化简可得，则，要证，即证，即，也即，即证，令，则，所以在在区间上单调递增，故，故.